5.5. Види та взаємозв’язок дисперсій

Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. На відміну від інших характеристик варіації завдяки своїм математичним властивостям вона є невіддільним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема дисперсійного аналізу.

Для ознак метричної шкали дисперсія — це середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:

.

Як і будь-яка середня, дисперсія має певні математичні властивості. Сформулюємо найважливіші з них.

1. Якщо всі значення варіант x_j зменшити на сталу величину А, то дисперсія не зміниться:

.

2. Якщо всі значення варіант x_j змінити в А раз, то дисперсія зміниться в A² раз:

.

3. Якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться.

Нескладними алгебраїчними перетвореннями можна довести, що дисперсія — це різниця квадратів . Якщо

,

то, замінивши  і поділивши всі складові на n, дістанемо:

,

де — квадрат середньої величини; — середній квадрат значень ознаки.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток: , де  — частка елементів сукупності, яким властива ознака,  — частка решти елементів . Застосуємо основну формулу дисперсії до цих характеристик структури:

Якщо, скажімо, у збиральному цеху частка висококваліфікованих робітників становить , то дисперсія частки .

Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при проектуванні вибіркових обстежень, обробці даних соціологічних опитувань, статистичному контролі якості продукції тощо. За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що  і використовують максимальне значення дисперсії  (див. підрозд. 6.4).

Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня , центром розподілу в j-й групі — групова середня . Відхилення індивідуальних значень ознаки у від загальної середньої  можна подати як дві складові: . Узагальнюючими характеристиками цих вiдхилень є дисперсії: загальна, групова та міжгрупова.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у навколо загальної середньої:

.

Групова дисперсія характеризує варіацію відносно групової середньої:

.

Оскільки в групи об’єднуються певною мірою схожі елементи сукупності, то варіація в групах, як правило, менша, ніж у цілому по сукупності. Якщо причинні комплекси, що формують варіацію в різних групах, неоднакові, то й групові дисперсії різняться між собою.

Узагальнюючою мірою внутрішньогрупової варіації є середня з групових дисперсій:

.

Різними є й групові середні . Мірою варіації їх навколо загальної середньої є міжгрупова дисперсія

.

Отже, загальна дисперсія складається з двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, друга — міжгрупову варіацію.

Взаємозв’язок дисперсій називається правилом розкладання (декомпозиції) варіації:

.

Розглянемо розрахунок зазначених дисперсій на прикладі варіації якості твердого сиру у залежно від терміну його зберігання х. Результати вибіркового обстеження якості 20 партій сиру, розподіл їх за терміном зберігання (1, 2, 3 місяці), розрахунки середніх та дисперсій наведено в табл. 5.13. Згідно з даними таблиці маємо:

1) середній бал якості сиру (за 10-бальною шкалою)

;

2) загальна дисперсія балів якості

;

3) групові середні бали якості та групові дисперсії:

Таблиця 5.13

РОЗРАХУНОК ЗАГАЛЬНОЇ ТА ГРУПОВИХ ДИСПЕРСІЙ ЯКОСТІ СИРУ

Значення групових середніх підтверджують залежність якості сиру від терміну його зберігання. У 1-й групі середній бал якості становить 8,7, у 2-й групі якість сиру знижується на 1,5 бала, а в 3-й зниження якості порівняно з першою групою становить 2,8 бала. Водночас зростає варіація балів у групах, що відбиває посилення впливу інших чинників на якість сиру.

Необхідні величини для розрахунку середньої з групових і міжгрупової дисперсій наведено в табл. 5.14.

Таблиця 5.14

ДО РОЗРАХУНКУ МІЖГРУПОВОЇ ТА СЕРЕДНЬОЇ З ГРУПОВИХ ДИСПЕРСІЙ

За даними таблиці міжгрупова дисперсія становить

середня з групових дисперсій

.

Сума їх дорівнює загальній дисперсії: 0,143 + 1,170 = 1,313.

Міжгрупова варіація — це результат впливу фактора, який покладено в основу групування, внутрішньогрупова — інших факторів, окрім групувального. Відношення міжгрупової дисперсії до загальної характеризує частку варіації результативної ознаки у, яка пов’язана з варіацією групувальної ознаки. Це відношення називають кореляційним і позначають символом :

.

У розглянутому прикладі кореляційне відношення становить , тобто 84,2% варіації якості сиру пов’язані з терміном зберігання. На інші фактори припадає 100 – 84,2 =
= 15,8% варіації.

Правило декомпозиції варіації є основою вимірювання щільності зв’язку.

завдання для самоконтролю

1. Як виявляється закономірність розподілу?

2. Назвіть особливості частотних характеристик розподілу.

3. Чому саме середню розглядають як типовий рівень ознаки в сукупності? Як співвідноситься середня з іншими характеристиками центра розподілу?

4. Середня величина ознаки у двох сукупностях однакова. Чи може бути різною варіація цієї ознаки?

5. Терміни корисного використання нематеріальних активів фірми, захищених патентами, ліцензіями тощо, на кінець року становили:

Визначіть ряд кумулятивних часток, медіану і моду терміну корисного використання нематеріальних активів фірми.

6. Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики становили:

За кожний квартал визначіть середню кредитну ставку та середнє лінійне відхилення. Як змінилися середній рівень і варіація кредитної ставки?

7. Прибутковість активів комерційних банків на початок року становила в середньому 15% при дисперсії 36, на кінець року — 10% при дисперсії 25. Оцініть відносну варіацію прибутковості активів на початок і кінець року, зробіть висновок про напрямок зміни середньої і варіації.

8. Розподіл агропідприємств за рівнем урожайності кукурудзи (ц/га) на зрошувальних землях характеризується даними:

Порівняйте варіацію та асиметрію розподілу агропідприємств за рів­нем урожайності кукурудзи.

9. Квадратичний коефіцієнт варіації витрат домогосподарств на харчування становить 79%. Чи можна вважати однорідною сукупність домогосподарств за цією ознакою?

10. На яких засадах ґрунтується оцінка нерівномірності розподілу? Поясніть зміст і особливості розрахунку коефіцієнтів локалізації та концентрації.

11. За наведеними даними оцініть ступінь концентрації землі у фермерських господарствах, зробіть висновок.

12. За даними про віковий склад парку металообробного устаткування за два роки оцініть інтенсивність структурних зрушень, зробіть висновок.

13. Частка високоліквідних активів у сумі поточних активів становить 20%. Визначіть дисперсію частки високоліквідних активів.

14. Сукупність розбито на однорідні групи, причому варіація ознаки в групах значно менша, ніж у цілому по сукупності. Який зв’язок між загальною і груповою варіаціями?

15. Яку варіацію характеризує міжгрупова дисперсія?

16. За даними хронометражних обстежень затрати часу на обробку деталі на різних стругальних верстатах становили, хв:

у І зміну — 26, 24, 23, 28, 25, 24;

у ІІ зміну — 28, 30, 29, 33.

Визначіть групові, міжгрупову та загальну дисперсії затрат часу на обробку деталі. Покажіть взаємозв’язок дисперсій.