2.5. ТЕМА “ОСНОВИ КЛІНІЧНОЇ СТАТИСТИКИ”

2.5.1. Методичні поради

Клінічна статистика вивчає значущість, достовірність результатів клінічних і лабораторних досліджень. Вони, як правило, по­в’язані з оцінкою впливу окремих препаратів на організм, порівнянням окремих методів лікування, визначенням впливу різних факторів на здоров’я людини, оцінкою ефективності певних методів лікування та ін.

При цьому широко використовують основні загальновідомі методи статистики: аналізу рядів розподілу, вивчення статистичного зв’язку, перевірки статистичних гіпотез, багатовимірного статистичного аналізу.

Більшість цих методів вивчається студентами різних фахових спрямувань: медичного, технічного, економічного. Проте існує певна специфіка їх використання в конкретній предметній області. Це також стосується й інтерпретації отриманих результатів.

У цьому розділі навчально-методичного посібника акцент робиться саме на деяких з цих особливостей.

Перш за все слід згадати про таку концепцію, як рандомізація, з якою пов’язані методи планування експерименту в умовах неоднорідності, проведення масових спостережень, ретроспективних досліджень та ін. [54].

Статистичні висновки щодо клінічних і лабораторних досліджень багато в чому залежать від того, як провадився відбір об’єктів. Наприклад, порівнюємо дію вітаміну Х_в вітчизняного виробництва і вітаміну Х_з закордонного виробництва, які мають однакові хімічні формули, на організм людини. Для цього оберемо відповідно дві групи людей А і В і після експерименту порівняємо результати, припустимо, за допомогою всім відомого t-критерію, який показав нам статистично значущу відмінність. Здавалось би, ми маємо, крім імен виробників, одне з яких може бути знаним в усьому світі (як кажуть, brand), ще і статистичні докази переваги одного препарату над так званим аналогом. Це дійсно так, якщо експериментальні одиниці у двох групах ідентичні (наприклад, коли кожна особа з групи А має у групі В якщо не брата-близнюка, то двійника з практично такими самими характеристиками всього організму). Кожен з нас розуміє, наскільки це практично можливо. В соціальних, економічних, біологічних дослідженнях ми маємо справу з неоднорідними, несхожими одиницями. Хоч би як правильно ми підібрали склад порівнюваних груп, достатньої однорідності не досягнемо. Людина, на відміну від електричної лампочки або кульки від шарикопідшипника, характеризується безліччю атрибутів. Проблема полягає в тому, які з них взяти до уваги під час проведення експерименту.

На практиці відбір експериментальних одиниць може бути по­в’язаний з суб’єктивними, а то й упередженими діями дослідника, що призводить до систематичного зміщення результатів. Рандомізація покликана забезпечити коректність застосування статистичних методів, оскільки є процедурою, що вносить елемент ви­падковості в експеримент.

Рандомізація може проводитися різними засобами. Детальніше з ними можна ознайомитися, звернувшись, зокрема, до публікацій [54, 95]. Коротко викладемо їх суть. Так, наприклад, при перевірці певного лікарського препарату одній групі людей можна давати саме його, іншій — нейтральний (плацебо); можна давати обом групам два різних препарати, але ні лікар, ні пацієнт не знають, який саме з цих двох; можна використовувати таблиці випадкових чисел та ін. Часто методи рандомізації комбінують з методами стратифікації, тобто поділу пацієнтів на певні групи (статеві, вікові, професійні). Після проведення групування в кожній з таких груп провадять рандомізований відбір.

Проведення економічного аналізу в галузі охорони здоров’я потребує елементарних знань з епідеміології і, як підкреслюється, особливо з випробувально-інтервеційної складо­вої цієї дисципліни [22, 68]. Тут автори перш за все мають на увазі відомі нам методи порівняння статистичних сукупностей. Наприклад, один з найпростіших — метод “до і після”, за яким вимірюється здоров’я до втручання і після нього. Ми, звичайно, пам’ятаємо про принципи перевірки статистичних гіпотез, про взаємопов’язані та незалежні вибірки та ін. Проте проблема полягає в тому, як при цьому уникнути упередженості або ненавмисних помилок, пов’язаних із впливом на кінцевий результат таких факторів, як природна здатність організму до самозцілення, ефект плацебо, зміни, що сталися за проміжок часу між двома випробуваннями, ефект Готорна[1] тощо. Той, хто вивчав загальну та соціально-економічну статистику за напрямами економічного університету, з цими деталями не обізнаний.

Вже сам процес відбору людей в дослідну та контрольну групи може мати в собі деяку упередженість, що в кінці призведе
до зміщених оцінок. Наприклад, якщо контрольна група формується з таких осіб, які не приймають жодного лікування, а в дослідну групу потрапили люди, які уважніше ставляться до свого здоров’я, то в контрольній групі може виявитися невідповідна кількість осіб з послабленим здоров’ям. Іншим прикладом може бути випробування препарату чи методу, який коштує дуже дорого. В ряді випадків можуть допомогти такі заходи, як неінформування осіб, включених до експерименту, до якої групи вони належать, та рандомізація.

Проте в літературі ми знаходимо застереження, що рандомізація досліджень може видатися неетичною, коли є підстави вважати, що спосіб лікування, який випробується, кращий за альтернативний [22]. І все ж дослідник повинен розуміти, що рандомі­зовані експерименти мають надійніші результати. В названій роботі згадується про дослідження Кокрейна (Cochrane, 1972), який виявив низку методів лікування, що вважалися дієвими, але при перевірці методом випадкового відбору виявилися неефективними. Це викликало значний резонанс у світі науки (зацікавлені можуть отримати про нього уявлення, детальніше познайомившись з рекомендованою літературою).

Особливе місце серед кривих розподілу посідає нормальна крива, яка відображає нормальний розподіл, або розподіл Гауса. Оцінка суттєвості показників асиметрії та ексцесу дає можливість зробити висновок про те, чи можливо віднести даний емпіричний розподіл до типу нормальних кривих вже на попередньому етапі дослідження. Він є результатом впливу необмеженої кількості незалежних один від одного факторів, що в природі зустрічається дуже часто. Поняття нормального розподілу покладено в основу багатьох методів статистики.

Особливості кривої нормального розподілу такі:

1. Крива симетрична відносно максимальної ординати. Максимальна ордината відповідає значенню x = M_e = M_o, і її величина дорівнює .

2. Крива асимптотично наближається до осі абсцис.

3. Крива має дві точки перегину, які знаходяться на відстані ± s від середнього значення.

4. При сталому значенні середньої з ростом s крива стає більш положистою. При зміні середнього значення і сталому значенні s крива не змінює своєї форми і лише зсувається вправо чи вліво по осі абсцис.

5. В інтервалі  ± s (t = 1) знаходиться 68,3% усіх значень. В інтервалі  ± 2s (t = 2) знаходиться 95,4% усіх значень. В інтервалі  ± 3s при (t = 3) знаходиться 99,7% усіх значень.

Нормальний розподіл має місце лише в тому разі, коли на величину ознаки впливає велика кількість випадкових факторів. Вплив цих факторів незалежний, і жоден з них не має переваги над іншими. Наприклад, розподіл великої кількості осіб однієї статі та вікової групи за ознаками “зріст”, “маса” або “артеріальний тиск” буде нормальним у тому разі, коли вони є практично здоровими. Розподіл гіпертоніків за останньою ознакою не буде нормальним.

Для перевірки істотності, тобто “невипадковості” відмінності емпіричного розподілу від нормального, застосовують критерії згоди.

Одним із найпоширеніших критеріїв згоди є критерій “хі-квадрат”, c², запропонований К. Пірсоном:

,

де f_i та f_i^′ — відповідно частоти емпіричного та теоретичного розподілу в зазначеному інтервалі.

Чим більшою буде різниця між емпіричними та теоретичними частотами, тим більшою буде величина c². Для відповіді на запитання про нормальність розподілу фактичне, обчислене нами значення критерію порівнюється із табличним (критичним) значенням при відповідній кількості ступенів вільності і рівні значущості, або істотності (він обирається на рівні 0,05 чи 0,01).

Якщо c²_ф > c²_табл, тобто c² попадає у критичну область, то це означає, що розбіжність між емпіричними і теоретичними частотами суттєва і її не можна пояснити випадковими коливаннями вибіркових даних. В такому разі нульова гіпотеза про нормальність розподілу відкидається.

Якщо c²_ф < c²_табл, розбіжність між частотами вважається випадковою. Для розрахунку числа ступенів вільності використовується різниця між кількістю груп (k) та кількістю обмежень (l). Для перевірки гіпотези про нормальність l = 3.

При розрахунку критерію Пірсона необхідною є відповідність декільком умовам: 1) чисельність спостережень повинна бути не меншою за 50; 2) частоти у кожному інтервалі — не меншими від 5.

Існує ще один критерій перевірки відповідності нормальному розподілу — це критерій Колмогорова—Смирнова. Він заснований на розрахунку максимальної різниці (d) між відносними частотами в емпіричному і теоретичному розподілах за абсолютною величиною, находженні числа K(l) = 0,09505. та порівнянні його із розрахунковим при заданому рівні істотності

Якщо d_ф >, то це означає, що розбіжність між емпіричними і теоретичними частотами суттєва і її не можна пояснити випадковими коливаннями вибіркових даних. У такому разі нульова гіпотеза про нормальність розподілу відкидається.

Якщо d_ф <, то розрахована різниця не перевищує максимально можливу величину розбіжностей емпіричних і теоретичних частот, яка може з’явитися через випадкові коливання вибіркових даних.

У процесі статистичного аналізу часто виникає необхідність порівняння рядів розподілу.

Якщо ми маємо емпіричний ряд розподілу і підбираємо теоретичну криву, яка б найповніше відображала закономірність розподілу, то цей процес називається моделюванням. При цьому виникає питання, якою мірою вибрана нами теоретична крива узгоджується з емпіричною, подібна до неї.

В іншому випадку необхідно порівняти дві емпіричні криві. Тут йдеться про те, наскільки вони схожі або, точніше, чи суттєво вони різняться. Інакше кажучи, чи суттєво різняться ті сукупності, розподіли яких відображені цими кривими.

У практиці статистичних досліджень в галузях економіки, соціології, біології та ін. така необхідність зустрічається дуже часто (приклади 2.5.1—2.5.5).

Приклад 2.5.1. Маємо дані про масу тварин у контрольній та дослідній групах, останні отримували певну кормову добавку:

Чи сприяє запропонована кормова добавка збільшенню маси тварин?
(t = 3,43).

Приклад 2.5.2. Маємо дані про місячні заробітки працівників, що виконують однакову роботу, на двох малих підприємствах, грн.:

Чи однаково заробляють працівники цих підприємств?

Приклад 2.5.3. При анкетуванні працівників підприємства на запитання “Чи задоволені Ви умовами праці?” відповіді чоловіків і жінок розділилися так:

Чи однакове ставлення чоловіків і жінок до умов праці на їхньому підприємстві? (c² = 1,04).

Приклад 2.5.4. Маємо дані про врожайність культури на дос­лідній та контрольній ділянках за ряд років, ц/га:

Чи впливає попередній обробіток посівного матеріалу на врожайність культури? (t = 7,32).

Приклад 2.5.5. При визначенні pH розчину в 10 пробах було отримано значення 7,48 ± 0,21. Чи можна вважати реакцію даного розчину лужною, якщо такими вважаються реакції зі значеннями pH > 7,0? (t = 2,28).

Прикладів можна навести безліч, але мовою статистики суть питання формулюється так: чи є дві задані сукупності (тобто ті, що порівнюються) вибірками із тієї самої генеральної сукупності або з двох різних генеральних сукупностей?

Практично завжди між двома сукупностями, точніше розподілами їх за певною ознакою, існує певна відмінність. Наприклад, розподіл за ознакою “зріст” студентів, які в даний момент знаходяться на п’ятому поверсі університету, буде відрізнятися від розподілу тих, хто перебуває на другому поверсі, але питання в тому, випадкова ця відмінність чи ні, тобто достовірна, суттєва, істотна. Таким чином перевіряється гіпотеза про відсутність реальної відмінності, яку називають нульовою гіпотезою і позначають Н₀. Для її перевірки використовують різні методи (оцінки) — статистичні критерії.

Рівень істотності характеризує, якою мірою дослідник ризикує зробити помилку, відхиляючи Н₀.

Важливо пам’ятати про такі обставини:

1. Слова “істотна”, яким ми характеризуємо відмінність між рядами розподілу, характеризує не її величину, а її “невипадковість”.

2. Відсутність достатніх підстав для відхилення Н₀ не є доказом відсутності відмінності.

3. Залежно від обставин один і той самий критерій слід обчислювати за різними формулами.

4. Рівень істотності повинен обирати сам дослідник, беручи
на себе відповідальність за можливі наслідки. Значення 1%, 5%
або ін., що традиційно наводяться в літературі, нам лише пропонуються, але ніким не нав’язуються.

Очевидно, що роль критерію в статистичному дослідженні, можливі наслідки прийнятих рішень вимагають коректного його застосування. Принципове значення при виборі критерію в кожному конкретному випадку має характер сукупностей, що порівнюються, — вид ознаки, форма розподілу, обсяги вибірок та ін.

Беручи до уваги важливу роль цих методів в статистичному аналізі та багато пов’язаних з ними нюансів, рекомендуємо в практичній роботі користуватися відповідною літературою [2, 11, 90, 93, 95].

Деякі критерії можуть бути використані у випадках розподілів, близьких до нормального. При цьому відмінність між розподілами може оцінюватися шляхом порівняння їх середніх. Для цього може бути використано t-критерій Стьюдента (приклад 2.5.1, [93]). Приклад 2.5.2 має нагадувати, до якого абсурду можна дійти, оперуючи середніми рівнями (заробітку, радіації, кількості шуб на одну жіночу душу), помилково чи свідомо не звертаючи при цьому увагу на форму розподілу. При абсолютно однакових “середніх” насправді маємо абсолютно протилежні принципи оплати праці.

Коли ж порівнюються розподіли якісної ознаки (приклад 2.5.3), то може бути використано критерій “хі-квадрат” Пірсона. При цьому необхідно, щоб обсяги порівнюваних вибірок були не менше 20—30 одиниць, а частоти в окремих клітинках не менше 4—5 [93].

Існують критерії, застосування яких не потребує обчислення параметрів розподілу (середнього, дисперсії та ін.) і які отримали назву непараметричних. Їх можна розділити на три групи [93, 96]:

• · критерії, що виявляють відмінність характеристик центру;
• · критерії, що дають змогу виявити будь-яку відмінність, але не дають відповідь, у чому саме вона полягає;
• · критерії для попарно узгоджених сукупностей.

В. Ю. Урбах наводить по два приклади обчислення критеріїв, що представляють кожну групу, та відповідні пояснення [93].

Це відповідно: критерій Уайта і критерій Х (Ван дер Вардена); серійний критерій та критерій Колмогорова—Смирнова; критерій знаків і критерій Вілкоксона.

t-критерій Стьюдента використовують для перевірки гіпотези про середні двох нормально розподілених генеральних сукупностей. Частою помилкою є ігнорування припущень про дисперсії розподілів. Якщо ж взяти до уваги дані про ці параметри, то формули для обчислення t-критерію будуть різними. При цьому, як відомо, виділяють 4 випадки [75].

Зупинимося на випадках незалежних і залежних (взаємопов’язаних) вибірок.

Випадок незалежних вибірок маємо в прикладі 2.5.1. Критерій обчислено за формулою

,                                 (2.5.1)

де:  — середнє значення;

,  — стандартна помилка середнього (standard error of mean); , де n — обсяг сукупності.

Число ступенів вільності f = n₁ + n₂ – 2 = 32 + 23 – 2 = 53.

Величина, що стоїть в знаменнику формули (2.5.1) і має назву середньої помилки різниці, обчислюється як  m_різн = тільки в тому разі, коли варіанти однієї сукупності не залежать від варіантів другої. Але часто, особливо в практиці біологічних дослідів, буває інакше. Наприклад, при вивченні врожайності на двох розміщених поруч ділянках, рівня холестерину в певній групі осіб до і після лікування і т. д. Можна сказати, що в першому випадку зв’язок реалізується через однакові кліматичні умови, в другому — через один і той же організм.

У таких випадках сукупності називають залежними, або попарно зв’язаними, і тоді [93]:

m_різн = ;                            (2.5.2)

;   ,

де: х_і, у_і — попарно зв’язані варіанти.

Цей випадок ілюструє приклад 2.5.4. Число ступенів вільності при цьому: f = n – 1 = 7 – 1 = 6.

Розглядаючи різні методи вивчення статистичного зв’язку, важливо зрозуміти специфіку, умови їх застосування. В кореляційно-регресійному аналізі (КРА) факторні та результативні озна­ки належать до метричної шкали; метод аналітичного групування та дисперсійний аналіз можуть бути реалізовані, коли факторна ознака якісна. Нарешті, у випадку, коли і факторна і результативна ознаки якісні, тобто віднесені до номінальної або порядкової шкали, використовуються так звані непараметричні методи, тобто такі, які не потребують обчислення параметрів розподілу. В чому полягає їх принцип?

Для порівняння рядів розподілу якісної ознаки може бути застосований критерій. Але тут ми переходимо до гіпотези про незалежність. Критерій може бути використаний для доказу наявності істотного зв’язку. Коли ознаки якісні, вести мову про форму зв’язку, мабуть, немає сенсу, що ж до напряму, то його іноді можна визначити візуально по самій таблиці взаємозалежності (ТВ). Для визначення щільності зв’язку використовують коефіцієнти взаємозалежності.

Наприклад, для неквадратних таблиць коефіцієнт Чупрова має вигляд

,

де: k₁, k₂ — кількість рядків і стовпчиків таблиці; n — число елементів сукупності.

Коефіцієнт Крамера обчислюють за формулою

,

де: m = min(k₁, k₂).

Ці коефіцієнти мають значення від 0 — при відсутності зв’язку до 1 — при зв’язку функціональному.

У практиці статистичних досліджень часто необхідно аналізувати альтернативні розподіли, коли сукупність розподіляється за кожною ознакою на дві групи з протилежними характеристиками. Так, можна аналізувати успішність студентів залежно від статі [90], виділивши дві групи — тих, що склали іспит, і тих, що не склали іспит.

Приклад 2.5.6.

ЗАЛЕЖНІСТЬ УСПІШНОСТІ СТУДЕНТІВ ВІД СТАТІ

Щільність зв’язку у даному випадку можна розрахувати за допомогою коефіцієнта асоціації:

.

Тобто між статтю та успішністю студентів зв’язок надто незначний, практично він відсутній. Такий висновок, мабуть, є справедливим, оскільки істотними факторами успішності є не стать, а відвідування лекційних і практичних занять, кількість годин самостійної роботи і т. п.

Використання таблиць взаємозалежності дуже поширене при вивченні взаємозв’язку ознак різної природи: в економіці, соціології, біології, медицині. У порівнянні з КРА їх вибір легше аргументувати, легше дотримуватися необхідних умов застосування, а отримані результати інтерпретувати. Ми вже згадували про проблему вибору факторів в КРА, крім того, на практиці не завжди забезпечується виконання відповідних постулатів (взаємозв’язок факторів, нормальність розподілу, відповідність шкал та ін.).

Прагнення подолати подібні перешкоди іноді приводить деяких дослідників до віртуозних математичних трюків, аби тільки “притягнути за вуха” наукові методи. Щоб глибоко зрозуміти й оволодіти досягненнями світової статистичної науки, особливо останніх десятиліть, потрібна відповідна підготовка. Ми вважаємо, що спеціалісту з економіки та управління при розв’язуванні прикладних задач за допомогою пакетів статистичних програм перш за все необхідно чітко уявляти, який статистичний інструмент у яких випадках застосовувати, вміти інтерпретувати отримані результати. Саме тому ми настійно рекомендуємо при розв’язуванні конкретної задачі, поки не буде набуто певного дос­віду, користуватися прикладами з авторитетних літературних джерел. Це дасть змогу:

а) визначити, який метод застосовується в задачі, подібній до Вашої;

б) обчисливши контрольний приклад наявними у Вас засобами (статистичними програмами), порівняти значення результатів, їх інтерпретацію та термінологію.

У цьому плані із наведеного списку літератури насамперед рекомендуємо [2, 11, 93, 95].

Звичайно, параметричні та непараметричні методи не є взаємозамінюваними. Проте в деяких випадках для зручності замість перших можна застосовувати другі, замінюючи метричні шкали, наприклад, порядковими. Але треба пам’ятати, що менша глибина аналізу, яка буде досягнута при цьому, мо­же бути виправдана лише більшою його аргументованістю та надійністю. Нагадаємо, що за допомогою непараметричних методів можна лише визначити щільність зв’язку та його істотність, КРА дає змогу до того ж вивчити і його форму.

Широко відомі міри взаємозв’язку, які не базуються на статистиці c². Для випадків, коли ТВ побудована для ознак, одна з яких або обидві виміряні за допомогою порядкової шкали, наприклад “колір очей—колір волосся”, найчастіше використовуються так звані методи рангової кореляції: міри Кендалла; Стьюарта та Спiрмена. Якщо ознаки в ТВ тільки дискретні (“стать”, “спеціальність”, але не “вік”), рекомендуються міри Гудмена—Крускала. I нарешті, існує група методів спеціально для ТВ розміром 2 ´ 2 [2, 95].

Популярний приклад: “Палять — не палять; хворіють — не хворіють”. Очевидна умовність такого поділу. Що означає “хворіють”? Як часто? Якими саме захворюваннями? А що означає “не палять”? Зовсім чи не зовсім? Взагалі, однозначні відповіді не завжди коректні.

Дійсно, є суто альтернативні ознаки, наприклад “стать” (принаймні, так заведено вважати). Але якщо є змога і дозволяє обсяг сукупності, треба намагатись “розтягнути” шкалу вимірювання. Наприклад, якщо Ви формулюєте питання анкети для соціологічного обстеження персоналу лікарні, то для запитання “Чи задоволені Ви умовами праці?” слід підказувати такі варіанти відповіді: “Не задоволений”, “Скоріше незадоволений, ніж задоволений”, “Важко відповісти”, “Скоріше задоволений, ніж незадоволений”, “Задоволений”. Якщо Ви запропонуєте тільки два варіанти відповіді і тим самим змусите людину відповісти тільки “задоволений” або “незадоволений”, то Ви не вловите відтінків у настрої людей. Але слід мати на увазі, що іноді корисно зробити і навпаки.

Так, згідно з теорією слід уникати застосування ТВ у тих випадках, коли значення окремих клітинок менше 5. Проте є рекомендації, як знайти вихід з цього положення. В літературі та роздруковках статистичних пакетів вони пов’язані з іменами таких авторів, як Й’єйтс (Yates), Кохрен (Сochran), Ман­тель (Mantel). Але їх застосування потребує певної обережності. У таких випадках іноді краще об’єднати рядки чи стовпчики ТВ. Зрозуміло, що це можна зробити, наприклад, щодо ознаки “задоволеність умовами праці” або “колір волосся”, а не ознаки “спеціальність”.

Бажаючим докладніше ознайомитися з методами вивчення взаємозв’язку, пов’язаними з ТВ, ми із задоволенням рекомендуємо [2, 95].

Вважається, що глибокий статистичний аналіз включає не тільки перевірку гіпотези про незалежність, але і порівняння самих критеріїв для більш повного розуміння результатів.

Визначення щільності зв’язку за методом кореляційного та дисперсійного аналізу пов’язане з деякими труднощами й потребує громіздких розрахунків. Для орієнтовного оцінювання щільності зв’язку користуються наближеними характеристиками, які не потребують трудомістких розрахунків. До них слід віднести: коефіцієнт кореляції знаків Фехнера, коефіцієнти кореляції рангів Спірмена та Кенделла.

Коефіцієнт кореляції знаків Фехнера ґрунтується на зіставленні знаків відхилень від середньої та розрахунку кількості збіжностей і розбіжностей знаків. Він визначається за формулою

,

де: u — число пар з однаковими знаками відхилень x та y від та ; v — число пар з різними знаками відхилень x та y від  та. Коефіцієнт кореляції знаків коливається в межах від “– 1” до “+ 1”. Чим ближче до “1”, тим щільніший зв’язок. Знак “+” чи “–” вказує на напрям зв’язку. Якщо u = v, то I =0 і зв’язку немає.

А от ще один метод оцінювання зв’язку на підставі розрахунку коефіцієнта кореляції рангів. Його головна характерна властивість полягає в тому, що він обчислюється не за первинними даними, а за рангами, які присвоюються всім значенням ознак, що вивчаються, розміщених в порядку зростання. Якщо значення збігаються, то ранг визначається діленням суми рангів на кількість значень.

Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена визначається за фор­мулою

,

де: d² — квадрат різниці рангів для кожної одиниці, d = x – y.

Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена також коливається в межах від “ –1” до “ +1”. Чим ближче до “1”, тим щільніший зв’язок. Знак “+” чи “–” вказує на напрям зв’язку. Якщо ранги за обома ознаками збігаються, то зв’язок повний, прямий. Якщо r = 0, то зв’язок між ознаками відсутній.

Ранговий коефіцієнт кореляції точніший за коефіцієнт кореляції знаків, оскільки він враховує не лише знаки відхилень, а й місце величини ознаки в даному ряді.

Крім описаних вище коефіцієнтів на практиці для визначення рейтингу та оцінювання щільності зв’язку використовують коефіцієнт кореляції рангів Кенделла:

,

де s_i — сума балів.

Сутність цього методу полягає в підрахунку числа балів для кожної одиниці сукупності. Для цього ранг першої одиниці сукупності за ознакою y в упорядкованому за x ряді порівнюємо з рештою одиниць сукупності, розташованою нижче за списком. Якщо він менший, присвоюємо йому бал “+1”, якщо більше — “–1”.

[1] Ефект Готорна (зазвичай позитивний, або корисний) — вплив дослідження на особу, що є його об’єктом. Полягає в тому, що усвідомлення своєї ролі в дослідженні позначається на поведінці особи. Назва походить від назви міста Готорн (штат Іллінойс), на електростанції якого було проведене відповідне дослідження.

Від себе додамо, що ефект Готорна є по суті одним з проявлень феномену артефакту.