2.5. Оцінювання параметрів моделі методом
максимальної правдоподібності

Для того щоб оцінити вірогідність економетричної моделі, потрібно насамперед мати дисперсію залишків . Оцінюючи параметри моделі методом 1МНК, ми висунули гіпотезу про те, що дисперсія залишків є незмінною для всіх спостережень. Знайдемо її значення.

Фактичні значення залежної змінної згідно з моделлю (2.17) можна подати так:

Y_i = a₀ + a₁X_i + u_i . (2.23)

Запишемо цю модель для середніх значень, знайдених на підставі спостережень:

(2.24)

Віднімемо співвідношення (2.24) від (2.23):

Замінивши  ,   , дістанемо:

Оскільки  для розрахункових значень залежної змінної, то залишки можна подати так:

Величина залишків  в даному разі визначає відхилення розрахункового значення залежної змінної  від фактичного за умови, що всі змінні моделі (  і ) взяті як відхилення від свого середнього значення.

Сума квадратів залишків визначатиметься у вигляді

Знайдемо математичне сподівання для кожної складової правої частини суми квадратів залишків:

1) ;

2) ;

3)

Остаточно маємо:

Звідси

де  — незміщена оцінка істинного значення .

Досі ми не робили інших припущень про розподіл залишків u_i, крім того, що середнє значення його дорівнює нулю, дисперсія є сталою і коваріації також дорівнюють нулю:

Y_i = a₀ + a₁X_i + u_i , (2.25)

M(u_i) = 0;

У (2.25) параметри a₀, a₁ і  були невідомими, і згідно з методом 1МНК спочатку знайдено оцінки параметрів  і , а далі на підставі залишків u_i обчислено їх дисперсію .

Якщо задати певну функцію закону розподілу залишків, то, скориставшись методом максимальної правдоподібності, можна одночасно знайти оцінку всіх трьох параметрів  a₀, a₁ і .

Нехай залишки розподілені за нормальним законом. тоді функція правдоподібності подається у вигляді

Оскільки співвідношення Y_i = a₀ + a₁X_i + u_i задає лінійне перетворення залишків u_i в Y_i , де , то функція правдоподібності буде така:

і

Дана функція містить невідомі параметри , , . Тильда “~” над оцінками цих параметрів відрізняє їх від оцінок , , і , знайдених методом 1МНК, а також від істинних значень параметрів a₀, a₁ і .

Продиференціюємо цю функцію за невідомими параметрами , , , тобто знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Після елементарних перетворень система рівнянь запишеться так:

(2.26)

Порівнюючи систему (2.26) із системою (2.19), здобутою за методом 1МНК, бачимо, що перші два рівняння (2.26) такі самі, як рівняння системи (2.19), а третє рівняння системи (2.26) дає формулу оцінки дисперсії залишків.

У даному разі неважко переконатись, що оцінки параметрів  і  за методом максимальної правдоподібності повністю збігаються з оцінками 1МНК.

Отже, якщо параметри моделі  і  є лінійними функціями від залишків u_i, які задовольняють багатовимірний нормальний розподіл, то оцінки їх за методами 1МНК і максимальної правдоподібності збігаються. Тому оцінки  і  також є нормально розподіленими, і математичним сподіванням їх є параметри a₀ і a₁. З третього рівняння системи (2.26) маємо:

.

Параметр, який характеризує співвідношення між невідомою оцінкою дисперсії згідно з методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії, запишеться у вигляді:

.

Він має розподіл  з n – 2 ступенями свободи і розподілений незалежно від  і . Пізніше ми звернемося до параметра , коли йтиметься про існування довірчих інтервалів для параметрів моделі.